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Estimado un gusto saludarlo, le comento:

Tengo un hijo nacido en España.
Él no tiene mis apellidos. Ahora se encuentra de visita en Ecuador, (el país de nuestro origen) con la mamá.
Estoy en trámites de darle mi apellido (reconocerlo)

Mi consulta es: ¿qué posibilidad hay de que se me otorgue alguna visa o residencia para estar con él en España....?

Si tu hijo está a tu cargo, puedes solicitar un visado en el Consulado español para acompañarle en su viaje.

En cuanto al tema de la residencia, el asunto está más complicado. Existe una pequeña vía a través de una disposición adicional de la Ley, pero en principio las solicitudes son rechazadas en vía administrativa, por no estar contemplado entre las circunstancias excepcionales que especifica la ley la de ser padre de hijo español. Después, en vía judicial y atendiendo a las circunstancias de cada caso, algunos recursos son ganados. Pero este proceso dura años.

Saludos