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Hola
Mi padre nació en el año 1957 en Argentina, es hijo de español nacido en España (nunca perdió la nacionalidad española según el certificado de no ciudadano)
Mi padre, no realizo servicio militar argentino (tiene la constancia que lo prueba) por lo cual entiendo es español de origen que nunca perdió la nacionalidad y solo debe registrar su nacimiento en el consulado.
Yo nací en 1984 por lo cual si no me equivoco soy española de origen y no perdí la nacionalidad.
Mi pregunta es si puedo realizar mi tramite independientemente del de mi padre o debo esperar que él se inscriba.

Gracias, espero sus respuestas

Podrías inscribirte sin que sea inscrito tu padre. O podrías solicitar que se inscriba tanto a tu padre como a ti.
Por lo menos en Buenos Aires y Rosario.